Question

設雙曲線M：

x2

a2

-y²=1，點C（0，1），若直線y=x+1交雙曲線的兩漸近線于點A、B，且

BC

=2

CA

，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  10

  3

• C、

  5

• D、

  10

Answer 1

分析：把漸進性方程和y=x+1 聯立方程組求得點B、A的坐標，根據

BC

=2

CA

，求出 a，進而求出c和

c

a

的值．

解答：解：雙曲線的兩漸近線方程為y=±

x

a

和直線y=x+1聯立方程組求得
點B（

a

1-a

，

1

1-a

），A （

-a

1+a

，

1

1+a

 ）．
∵

BC

=2

CA

，∴（

a

1-a

，

a

1-a

）=2（

a

1+a

，

a

1+a

）
∴

2a

1+a

=

a

1-a

，
∴a=

1

3

，c=

a2+ b2

=

10

3

，
∴

c

a

=

10

，
故選 D．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，向量坐標形式的運算．