Question

若點(diǎn)（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均勻分布出現(xiàn)．
（1）點(diǎn)M（x，y）橫、縱坐標(biāo)分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標(biāo)，第二次確定縱坐標(biāo)，則點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域的概率？
（2）試求方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率．

Answer 1

分析：（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而分析可得點(diǎn)M的縱橫坐標(biāo)的范圍，可得M的個(gè)數(shù)，由古典概型公式，計(jì)算可得答案；
（2）是幾何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形區(qū)域，易得其面積，進(jìn)而根據(jù)方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=（2p）²-4（-q²+1）≥0，變形可得p²+q²≥1，分析可得其表示的區(qū)域即面積，由幾何概型公式，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如圖的正方形區(qū)域，
其中p、q都是整數(shù)的點(diǎn)有6×6=36個(gè)，
點(diǎn)M（x，y）橫、縱坐標(biāo)分別由擲骰子確定，即x、y都是整數(shù)，且1≤x≤3，1≤y≤3，
點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9個(gè)點(diǎn)，
所以點(diǎn)M（x，y）落在上述區(qū)域的概率P₁=

9

6×6

=

1

4

；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如圖的正方形區(qū)域，易得其面積為36；
若方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有△=（2p）²-4（-q²+1）≥0，
解可得p²+q²≥1，為如圖所示正方形中圓以外的區(qū)域，其面積為36-π，
即方程x²+2px-q²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的概率，P₂=

36-π

36

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型、古典概型的計(jì)算，解題時(shí)注意區(qū)分兩種概率的異同點(diǎn)．