Question

某機床廠2001年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：
方案一：當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；
方案二：當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床．
請你研究一下哪種方案處理較為合理？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，根據第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，由此可得y與x之間的函數關系式；
（2）方案一：，利用基本不等式可求最值
方案二：y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102，利用配方法求最值，比較即可得到結論．
解答：解：（1）由題意，根據第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，可得 （2分）
（2）方案一：∵ （2分）
∵，
當且僅當 時，即x=7 時等號成立
故到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利為12×7+30=114 萬元．（2分）
方案二：y=-2x²+40x-98=-2（x-10）²+102 （1分）
當x=10 時y_max=102 
故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利為102+12=114 萬元．（2分）
盈利額達到的最大值相同，而方案一所用的時間較短，故方案一比較合理．（1分）
點評：本題考查函數模型的構建，考查利用基本不等式與配方法求函數的最值，屬于中檔題．