Question

已知二面角α-PQ-β為

π

3

，A∈α，B∈β，C∈PQ，R為線段AC的中點，∠ACP=∠BCP=

π

6

，CA=CB=2，則直線BR與平面α所成角的大小為

45°

．

Answer 1

分析：作BM⊥PQ于M，連接AM，根據∠ACP=∠BCP=

π

6

，CA=CB進而判斷出△MBC≌△MAC，進而可知AM⊥PQ，根據線與面垂直的定義可知PQ⊥平面ABM，作BN⊥AM于N，根據PQ⊥平面ABM，可推知BN⊥PQ，得出BN⊥α，∠BRA為直線BR與平面α所成角．在直角三角形BRA中求解．

解答：證明：作BM⊥PQ于M，連接AM，
∵∠ACP=∠BCP=30°，CA=CB=2，
∴△MBC≌△MAC，∴AM⊥PQ，PQ⊥平面ABM，∠BMA為二面角α-PQ-β的平面角．∠BMA=60°．
又AM=BM=1，所以△BMA為正三角形．
過B作BN⊥AM于N，∵PQ⊥平面ABM，∴BN⊥PQ，
∴BN⊥α，∠BRN為直線BR與平面α所成角．
在直角三角形BRN中，BN=

3

2

，NR=

1

2

CM=

3

2

，所以直角三角形BRN為等腰直角三角形，∠BRN=45°，
直線BR與平面α所成角的大小為45°．
故答案為：45°

點評：本題考查空間角計算．考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力