Question

已知，其中e是無理數，a∈R．
（1）若a=1時，f（x）的單調區間、極值；
（2）求證：在（1）的條件下，；
（3）是否存在實數a，使f（x）的最小值是-1，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意先對函數y進行求導，解出極值點，然后再根據函數的定義域，把極值點代入已知函數，比較函數值的大小，從而解出單調區間；
（2）構造函數h（x）=g（x）+，對其求導，求出h（x）的最小值大于0，就可以了．
（3）存在性問題，先假設存在，看是否能解出a值．
解答：解：（1）∵當a=1時，，∴，（1分）
∴當0＜x＜1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調遞減
當1＜x＜e時，f'（x）＞0，此時f（x）單調遞增，（3分）
∴f（x）的單調遞減區間為（0，1）；單調遞增區間為（1，e）；
f（x）的極小值為f（1）=1．（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，e]上的最小值為1，（5分）
令h（x）=g（x）+，x∈（0，e]∴，（6分）
當0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調遞增，（7分）
∴，
∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+，（8分）
（3）假設存在實數a，使，（x∈（0，e]）有最小值-1，
∴，（9分）
①當a≤0時，
∵0＜x≤e，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上單調遞增，此時f（x）無最小值．（10分）
②當0＜a＜e時，
若0＜x＜a，則f'（x）＜0，故f（x）在（0，a）上單調遞減，
若a＜x＜e，則f'（x）＞0，故f（x）在（a，e]上單調遞增.，，得，滿足條件．（12分）
3當a≥e4時，∵0＜x＜e，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，e]上單調遞減，（舍去），所以，此時無解．（13分）
綜上，存在實數，使得當x∈（0，e]時f（x）的最小值是-1．（14分）
（3）法二：假設存在實數a，使，x∈（0，e]）的最小值是-1，
故原問題等價于：不等式，對x∈（0，e]恒成立，求“等號”取得時實數a的值．
即不等式a≥-x（1+lnx），對x∈（0，e]恒成立，求“等號”取得時實數a的值．
設g（x）=-x（1+lnx），即a=g（x）_max，x∈（0，e]（10分）
又（11分）
令
當，g'（x）＞0，則g（x）在單調遞增；
當，g'（x）＜0，則g（x）在單調遞減，（13分）
故當時，g（x）取得最大值，其值是
故．
綜上，存在實數，使得當x∈（0，e]時f（x）的最小值是-1．（14分）
點評：此題是一道綜合題，主要還是考查導數的定義及利用導數來求區間函數的最值，利用導數研究函數的單調性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是求導要精確．