Question

已知數列中，，，且．

（Ⅰ）設，證明是等比數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．

Answer 1

（Ⅰ）證明：由題設，得

，

即

．

又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

將以上各式相加，得．所以當時，

上式對顯然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故．

由可得，由得

，      ①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以對任意的，是與的等差中項．