Question

在等比數列{a_n}中，a₂a₃=32，a₃=32．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，數列{

1

bnbn+1

}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公比為q，依題意，列出關于首項與公比的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）易求b_n=log₂a_n=n，利用裂項法可求得

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

，從而可求得數列{

1

bnbn+1

}的前n項和為S_n．

解答：解：（Ⅰ）設求數列{a_n}的公比為q，依題意

a1q•a1q2=32 a1q4=32

，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵a_n=2ⁿ，
∴b_n=log₂a_n=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等比數列的通項公式的應用，突出裂項法求和的應用，屬于中檔題．