Question

14．已知F₁、F₂分別是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是橢圓上一動點，滿足：
①∠F₁AF₂的最大值為60°
 ②若圓C與F₁A的延長線、F₁F₂的延長線以及線段AF₂相切，則M（2，0）為其中一個切點，則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

Answer 1

分析 由題意可知：由切線的性質可知：丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨），2a-丨F₁M丨，丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，即丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，即可求得a=2，當A位于短軸頂點時，∠F₁AF₂最大，因此△F₁AF₂為等邊三角形，即可求得c的值，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓的標準方程．

解答 解：由題意知，圓C是△AF₁F₂的旁切圓，
點M（2，0）是圓C與x軸的切點，
設圓C與直線F₁A的延長線、AF₂分別相切于點P，Q，
則由切線的性質可知：
丨AP丨=丨AQ丨，丨F₂Q丨=丨F₂M丨，丨F₁P丨=丨F₁M丨，
∴丨MF₂丨=丨QF₂丨=（丨AF₁丨+丨AF₂丨）-（丨AF₁丨+丨AQ丨）
=2a-丨AF₁丨-丨AQ丨
=2a-丨F₁P丨
=2a-丨F₁M丨
∴丨MF₁丨+丨MF₂丨=2a，丨OF₁丨+丨OM丨+丨OM丨-丨OF₂丨=2a，
∴2+2=2a，解得：a=2．
由∠F₁AF₂的最大值為60°，即當A位于短軸頂點時，∠F₁AF₂最大，
∴△F₁AF₂為等邊三角形，
∴2c=2，c=1，
b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．

點評 本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想，屬于中檔題．