Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

ax-1

+

1

2

)x，(a＞0且a≠1)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）求實數(shù)a的取值范圍，使f（x）＞0在定義域上恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，只需a^x-1≠0；
（Ⅱ）利用函數(shù)奇偶性的定義即可判斷；
（Ⅲ）問題等價于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，對不等式化簡可求；

解答：解：（Ⅰ）由a^x-1≠0，得x≠0，
所以函數(shù)的定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=(

1

a-x-1

+

1

2

)(-x)=-x(

ax

1-ax

+

1

2

)
=x(

ax

ax-1

-

1

2

)=x(1+

1

ax-1

-

1

2

)
=x(

1

ax-1

+

1

2

)=f（x），
所以f（x）為偶函數(shù)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數(shù)為偶函數(shù)，問題等價于f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，即

1

ax-1

+

1

2

＞0恒成立，
亦即

ax+1

2(ax-1)

＞0，所以a^x-1＞0即a^x＞1在（0，+∞）上恒成立，
所以a＞1，故實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．