Question

在數列中，已知.

（1）求數列的通項公式；

（2）為數列的前項和，求；

（3）若總存在正自然數，使成立，求的取值范圍.

Answer 1

解:（1）解法一：∵，

∴  ，

∴ 猜想 ，以下用數學歸納法證明（略）

解法二： ∵ , ∴, ∴ ,

又, ∴ 數列是以2為公比、以-2為首項的等比數列,

∴ ， ∴

（2）由（1）得:,∴

,  ∴ ,

令, 則,

兩式相減得:

∴ , 即,∴=2.

   （3） ∵

令,則,

當時, ,

∴在單調遞減,

∴ 單調遞增, ∴ ,

∴ , ∴若總存在正自然數，使成立,則.

解法二：，令，

則，∴數列單調遞減，∴數列單調遞增，

又，

從而有  .

∴ 若總存在正自然數，使成立,則.