Question

11．已知點P是直線l：kx+y-2=0上一動點，PA、PB是圓C：x²+y²+2y=0的兩條切線，A、B是切點．若四邊形PACB的最小面積為$\sqrt{2}$，則k=$±\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”，最后利用點到直線的距離求出直線的斜率即可．．

解答 解：∵圓的方程為：x²+（y+1）²=1，
∴圓心C（0，-1），半徑r=1．
根據題意，若四邊形面積最小，當圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線l的距離最小時，切線長PA，PB最小．切線長為$\sqrt{2}$，
∴PA=PB═$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線l的距離為d=$\sqrt{3}$．
∵直線kx+y-2=0，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{3}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，解得k=±$\sqrt{2}$，
所求直線的斜率為$±\sqrt{2}$
故答案為：$±\sqrt{2}$．

點評 本題的考點是直線與圓的位置關系，主要涉及了構造四邊形及其面積的求法，解題的關鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點P的距離最小時，即距離為圓心到直線的距離時，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．