Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，側棱SA=SB=SC=SD，底面ABCD是菱形，AC與BD交于O點，
(Ⅰ)求證：AC⊥平面SBD；
(Ⅱ)若E為BC中點，點P在側面△SCD內及其邊界上運動，并保持PE⊥AC，試指出動點P的軌跡，并證明你的結論。

Answer 1

(1)證明：∵底面ABCD是菱形，O為中心，
∴AC⊥BD，
又SA=SC，
∴AC⊥SO，而SO∩BD=O，
∴AC⊥面SBD；
(2)解：取棱SC的中點M，CD的中點N，連結MN，則動點P的軌跡即是線段MN；
證明：連結EM、EN，
∵E是BC的中點，M是SC的中點，
∴EM∥SB，同理，EN∥BD，
∴平面EMN∥平面SBD，
∵AC⊥平面SBD，
∴AC⊥平面EMN，
因此，當點P在線段MN上運動時，總有AC⊥EP；
P點不在線段MN上時，不可能有AC⊥EP。