Question

已知一口袋中分別裝了3個白色、2個紅色、n個黑色玻璃球，現從中任取2個玻璃球觀察，每抽到一個白色球得1分，紅色球得2分，黑色球得0分．用X表示所得的總分，已知共得0分的概率為

1

6

（1）求袋中黑色球的個數n；   
（2）求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由得0分的概率為

1

6

，知

C 2 n

C 2 (3+2+n)

=

1

6

，由此能求出袋中黑色球的個數．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），P（X=4），由此能求出X的分布列和EX．

解答：解：（1）∵得0分的概率為

1

6

，
∴

C 2 n

C 2 (3+2+n)

=

1

6

，
解得n=4．
（2）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C 2 4

C 2 9

=

1

6

，
P（X=1）=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（X=2）=

C 2 3

C 2 9

+

C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P（X=3）=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P（X=4）=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

EX=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意排列組合和概率知識的靈活運用．