Question

設二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件：①當x∈R時，f（x-4）=f（2-x），且；②f（x）在R上的最小值為0．
（1）求f（1）的值及f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在[-1，1]上是單調函數，求k的取值范圍；
（3）求最大值m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】分析：（1）有條件得，求出f（1）=1，再由條件求出函數的對稱軸，由函數的最小值列出方程求出a、b、c的值，代入解析式化簡即可；
（2）由（1）求出g（x）化簡后，求出函數的對稱軸，再由二次函數的單調性和條件列出不等式，求出k的值；
（3）先假設存在，對f（x）配方后，再由分離常數法把條件轉化為：，判斷出函的單調性，求出最大值和最小值，結合t求出m的最大值．
解答：解：（1）∵在R上恒成立，
∴，即f（1）=1
∵f（x-4）=f（2-x），∴函數圖象關于直線x=-1對稱，
∴．
∵f（1）=1，∴a+b+c=1
又∵f（x）在R上的最小值為0，
∴f（-1）=0，即a-b+c=0，
由，解得，
∴；
（2）由（1）得，，
∴g（x）對稱軸方程為x=2k²-1，
∵g（x）在[-1，1]上是單調函數，
∴2k²-1≤-1或2k²-1≥1，
解得k≥1或k≤-1或k=0，
∴k的取值范圍是k≥1或k≤-1或k=0．
（3）假設存在存在t∈R滿足條件，
由（1）知，
∴f（x+t）≤x?（x+t+1）²≤4x且x∈[1，m]，
?在[1，m]上恒成立?
∵在[1，m]上遞減，
∴，
∵在[1，m]上遞減，
∴
∴，∴，，
∵m＞1，∴，
∴m≤9，∴m的最大值為9．
點評：本題考查了二次函數的性質的綜合應用，待定系數法求函數的解析式，以及分離常數法處理恒成立問題，第（3）問出現了兩個未知數，注意結合點，考查了轉化思想，難度較大．