【題目】設函數.
(1)試討論函數的單調性;
(2)若,證明:方程
有且僅有3個不同的實數根.(附:
,
,
)
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.
【解析】
(1)先對函數求導,分類討論和
兩種情況,即可得出結果;
(2)將代入函數解析式,得到
,根據(1)中結果,得到函數單調性,求出函數極值,即可得出結果.
解:(1)由,
得,
令,
所以,
所以當時,
,
恒成立,
即恒成立,
所以單調遞增;
當時,
,此時方程
有兩個不相等的根
,
,不妨設
,
令
,
所以,
,
所以當時,
,
即,所以
單調遞增;
當時,
,
即,所以
單調遞減;
當時,
,
即,所以
單調遞增.
綜上,當時,
在
上單調遞增;
當時,
的單調遞增區間為
,
;
的單調遞減區間為
.
(2)當時,
,
由(1)知,函數在
上單調遞增,在
上單調遞減,在
上單調遞增,
所以當時,函數
有極大值,且
,
當時,函數
有極小值,
且
.
又因為,
,
所以直線與函數
的圖象在區間
上有且僅有3個交點,
所以當時,方程
有且僅有3個不同的實數根.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法錯誤的是( )
A.回歸直線過樣本點的中心.
B.對分類變量X與Y,隨機變量K2的觀測值k越大,則判斷“X與Y有關系”的把握程度越小
C.兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數的絕對值就越接近于1
D.在回歸直線方程=0.2x+0.8中,當解釋變量x每增加1個單位時,預報變量
平均增加0.2個單位
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【題目】 在正方體ABCDA1B1C1D1中,若F,G分別是棱AB,CC1的中點,則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )
A.B.
C.D.
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【題目】已知點在橢圓
上,且橢圓的離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若為橢圓
的右頂點,點
是橢圓
上不同的兩點(均異于
)且滿足直線
與
斜率之積為
.試判斷直線
是否過定點,若是,求出定點坐標,若不是,說明理由.
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【題目】已知命題:“若,
為異面直線,平面
過直線
且與直線
平行,則直線
與平面
的距離等于異面直線
,
之間的距離”為真命題.根據上述命題,若
,
為異面直線,且它們之間的距離為
,則空間中與
,
均異面且距離也均為
的直線
的條數為( )
A.0條B.1條C.多于1條,但為有限條D.無數多條
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【題目】如圖,已知橢圓,
分別為其左、右焦點,過
的直線與此橢圓相交于
兩點,且
的周長為8,橢圓
的離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在平面直角坐標系中,已知點
與點
,過
的動直線
(不與
軸平行)與橢圓相交于
兩點,點
是點
關于
軸的對稱點.求證:
(i)三點共線.
(ii).
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【題目】智能手機的出現,改變了我們的生活,同時也占用了我們大量的學習時間.某市教育機構從名手機使用者中隨機抽取
名,得到每天使用手機時間(單位:分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示),其分組是:
,
.
(1)根據頻率分布直方圖,估計這名手機使用者中使用時間的中位數是多少分鐘? (精確到整數)
(2)估計手機使用者平均每天使用手機多少分鐘? (同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表)
(3)在抽取的名手機使用者中在
和
中按比例分別抽取
人和
人組成研究小組,然后再從研究小組中選出
名組長.求這
名組長分別選自
和
的概率是多少?
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