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【題目】設函數.

(1)試討論函數的單調性;

(2)若,證明:方程有且僅有3個不同的實數根.(附:

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

(1)先對函數求導,分類討論兩種情況,即可得出結果;

(2)將代入函數解析式,得到,根據(1)中結果,得到函數單調性,求出函數極值,即可得出結果.

解:(1)由

所以

所以當時,恒成立,

恒成立,

所以單調遞增;

時,,此時方程有兩個不相等的根,不妨設

所以

所以當時,

,所以單調遞增;

時,

,所以單調遞減;

時,

,所以單調遞增.

綜上,當時,上單調遞增;

時,的單調遞增區間為的單調遞減區間為.

(2)當時,

由(1)知,函數上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

所以當時,函數有極大值,且

時,函數有極小值,

.

又因為

所以直線與函數的圖象在區間上有且僅有3個交點,

所以當時,方程有且僅有3個不同的實數根.

練習冊系列答案
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i三點共線.

ii

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