Question

（2012•瀘州模擬）已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4，5}，定義函數f：M→N．若點A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））△ABC的外接圓圓心為O₁，且

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，則滿足條件的函數f（x）有（　　）

A．15個

B．20個

C．25個

D．30個

Answer 1

分析：本題從

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，說明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，f（1）=f（3）；M和N以即函數的理解，分類乘法計數原理的應用．

解答：解：△ABC的外接圓圓心為O₁，
∴|

O1A

|=|

O1C

|，則以

O1A

，

O1C

為鄰邊作平行四邊形O₁ADC，則四邊形O₁ADC為菱形，
由向量加法的平行四邊形法則可得，

O1A

+

O1C

=

O1D

=2

O1M

（設M為AC的中點）
又∵

O1A

+

O1C

=λ

O1B

(λ∈R)，
∴λ

BO1

=2

O1M

∴B，O₁，M共線，從而可得△ABC是等腰三角形，且BA=BC，
必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）
當f（1）=f（3）=1時，f（2）=2、3、4，5四種情況．
f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4、5，有四種．
f（1）=f（3）=3；f（2）=1、2、4、5，有四種．
f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1、5，有四種．
f（1）=f（3）=5；（2）=1，2，3，5，有四種情況
滿足條件的函數f（x）有20種．
故選B

點評：本題主要考查了向量的共線定理的應用，三角形的轉化，函數的定義；△ABC是等腰三角形，且BA=BC⇒f（1）=f（3），這是解題的關鍵．