已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
5.
（1）求實數
的值；
（2）求
在區間
上的最大值；
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源：2012-2013學年江西省宜春中學、新余一中高三（上）12月聯考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題
的圖象過坐標原點O，且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省高三5月高考沖刺理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省高三12月月考文科數學 題型：解答題
（本小題滿分14分）
已知函數
的圖象過坐標原點O, 且在點
處的切線的斜率是
.（1）求實數
的值； （2）求
在區間
上的最大值
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時，
………
2分
∴
∴
……… 3分
有
，令
有
，∴
，
。……… 5分
與
的變化情況如下表：
）
；
；
。
時，
最大值為2。……… 8分
時，
，則
；若
時，
，此時
時，
。……… 11分
時，有
時，有
………
12分
單調遞減