Question

給定拋物線C：y²=4x，F是C的焦點，過點F的直線l與C相交于A、B兩點．設l的斜率為1，則與夾角為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據拋物線方程求得焦點的坐標，進而可求得直線l的方程，代入拋物線方程消去x，設出A，B的坐標，根據韋達定理求得y₁+y₂和y₁y₂的值，進而直線方程求得x₁x₂值然后利用平面向量的運算法則求得和|OA|•|OB|的值，進而向量的數量積的計算求得cos＜，＞的值，最后求得與夾角．
解答：解：拋物線的焦點為F（1，0），直線l的方程為：x=y+1；
將其代入拋物線方程得：y²-4y-4=0設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
又x₁=y₁²，x₂=y₂²，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²=1．
=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂=-3．
|OA|•|OB|===，
∴cos＜，＞==-
故與夾角為x-arccos．
故答案為：x-arccos．
點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質和平面向量的計算．在研究形如y²=2px的拋物線與直線的有關問題時，設直線方程為x=my+b的形式，不僅可以簡化計算，有時還可以避免對直線斜率是否存在的討論．