Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-2），離心率為

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點A（0，3）的直線l與橢圓交于M、N兩點，且|BM|=|BN|，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用離心率e=

c

a

=

6

3

，b=2，a²=b²+c²即可得出；
（2）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設要求．可設直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x₀，y₀）．
把直線方程與橢圓方程聯立得到根與系數的關系，由于|BM|=|BN|，利用垂直平分即可得出直線BP的斜率．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，可設橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
橢圓一個頂點為B（0，-2），∴b=2，
∵離心率為

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．①
又∵a²=c²+b²，∴a²=c²+4…②
     聯立①②解得，a²=12      
∴橢圓的方程為：

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）當直線l斜率不存在時，易知不滿足題設要求．
可設直線l的方程為：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中點為P（x₀，y₀）．
由 

y=kx+3 x2 12 + y2 4 =1

消去x 得 （3k²+1）x²+18kx+15=0，
要使直線l與橢圓交于M、N兩點，則必須滿足：△=（18k）²-60×（3k²+1）＞0，即 k2＞

5

12

…（*）
則x1+x2=-

18k

3k2+1

，∴x0=

x1+x2

2

=-

9k

3k2+1

，y0=kx0+3=

3

3k2+1

則P(-

9k

3k2+1

，

3

3k2+1

)，
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，
又 B（0，-2）∴ kBP=

3 3k2+1 +2

- 9 3k2+1

=-

1

k

，
解得：k=±

6

3

，滿足（*）式   
∴直線l的方程是y=±

6

3

x+3．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、利用斜率關系及其中點坐標公式夾角垂直平分問題等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．