Question

已知點M在橢圓(a＞b＞0)上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F．

(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程；

(2)若點F(1，0)，設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時恒有|OC|²＋|OD|²＜|CD|²，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，　　1分 　　∴M到y軸的距離d＝　　2分 　　又圓M與x軸相切，∴當x＝c時，得y＝，r＝　　3分 　　∴＝2，c＝　　4分 　　∵解得a＝3或a＝－1(舍去)， 　　則b2＝2a＝6．　　5分 　　故所求的橢圓方程為．　　6分 　　(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2)． 　　①當直線CD與x軸重合時，有 　　∵c＝1，∴a2＝b2＋c2＞1， 　　恒有　　7分 　　②當直線CD不與x軸重合時， 　　設直線CD的方程為x＝my＋1，代入 　　整理得　　8分 　　∴ 　　∵恒有，∴恒為鈍角， 　　則＝x1x2＋y1y2＜0恒成立　　9分 　　∴x1x2＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝ 　　＋1 　　　　10分 　　又＞0 　　∴＜0對mR恒成立， 　　即對mR恒成立． 　　當mR時，的最小值為0，∴＜0．　　11分 　　∴，即 　　∴a＞0，b＞0，∴a＜b2，即a＜a2－1，∴a2－a－1＞0． 　　解得或，即． 　　由①②可知，a的取值范圍是(，＋∞)　　12分