Question

【題目】已知函數f（x）=
（1）證明f（x）是奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明
（3）求f（x）在[1，2]上的最值．

Answer 1

【答案】解：（1）由于函數f（x）=的定義域為R，f（﹣x）===﹣f（x），
故函數f（x）為奇函數．
（2）由于f（x）===1﹣，設x1＜x2 ， 則＜，
根據f（x1）﹣f（x2）=[1﹣]﹣[1﹣]=﹣
==＜0，∴f（x1）＜f（x2），
故函數f（x）在R上為增函數．
（3）在[1，2]上，函數f（x）為增函數，故當x=1時，函數f（x）取得最小值為，
當x=2時，函數f（x）取得最大值為．
【解析】（1）由條件利用奇函數的定義進行判斷，可得結論．
（2）由條件利用函數的單調性的定義進行證明，可得結論．
（3）由條件利用函數的單調性求得f（x）在[1，2]上的最值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性，以及對三角函數的最值的理解，了解函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．