Question

過直線x=-2上的動點P作拋物線y²=4x的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．
（1）若切線PA，PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
（2）求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）不妨設A(

t

2 1

，2t1)，B(

t

2 2

，2t2)（t₁＞0，t₂＞0），P（-2，m）．由y²=4x，當y＞0時，y=2

x

，y′=

1

x

，可得k1=

1

t1

．同理k₂=

1

t2

．利用斜率計算公式可得k₁=

1

t1

，得

t

2 1

-mt1-2=0．同理

t

2 2

-mt₂-2=0．t₁，t₂是方程t²-mt-2=0的兩個實數根，即可得出k₁k₂=

1

t1t2

為定值．
（2）直線AB的方程為y-2t₁=

2(t2-t1)

t 2 2 - t 2 1

(x-

t

2 1

)．化為y=

2

t1+t2

x+

2t1t2

t1+t2

，由于t₁t₂=-2，可得直線方程y=

2

t1+t2

(x-2)．

解答： 證明：（1）不妨設A(

t

2 1

，2t1)，B(

t

2 2

，2t2)（t₁＞0，t₂＞0），P（-2，m）．
由y²=4x，當y＞0時，y=2

x

，y′=

1

x

，
∴k1=

1

t1

．
同理k₂=

1

t2

．
由k1=

2t1-m

t 2 1 +2

=

1

t1

，得

t

2 1

-mt1-2=0．
同理

t

2 2

-mt₂-2=0．
∴t₁，t₂是方程t²-mt-2=0的兩個實數根，
∴t₁t₂=-2，
∴k₁k₂=

1

t1t2

=-

1

2

為定值．
（2）直線AB的方程為y-2t₁=

2(t2-t1)

t 2 2 - t 2 1

(x-

t

2 1

)．
即y=

2

t1+t2

x+2t₁-

2 t 2 1

t1+t2

，
即y=

2

t1+t2

x+

2t1t2

t1+t2

，由于t₁t₂=-2，
∴直線方程化為y=

2

t1+t2

(x-2)，
∴直線AB恒過定點（2，0）．

點評：本題考查了直線與拋物線相交相切問題、切線方程、斜率計算公式、直線過定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．