Question

已知集合A={（x，y）||x|+|y|=4，x，y∈R}，B={（x，y）|x²+y²=r²，x，y∈R}，若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，則正數r的值為______．

Answer 1

根據題意，對于A，
x≥0，y≥0時，有x+y=1，
x≥0，y＜0時，有x-y=1，
x＜0，y≥0時，有x-y=-1，
x＜0，y＜0時，有x+y=-1，
故A表示由x+y=1，x+y=-1，x-y=1，x-y=-1圍成的正方形，
而B表示一個圓心在原點，半徑為r的圓，
若A∩B中的元素所對應的點恰好是一個正八邊形的八個頂點，如圖，
則OA=r，OD=4，
易得OB=2

2

，
∠BOA=

π

8

，
有r=

2 2

cos π 8

．
故答案為r=

2 2

cos π 8

．