Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，點E、F分別在線段AB、AD上，且EF∥CD，將△AEF沿EF折起到△MEF的位置，并使平面MEF⊥平面BCDFE，得到幾何體M﹣BCDEF，則折疊后的幾何體的體積的最大值為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

設，在等腰梯形中，，則是邊長為的等邊三角形，求出折疊后棱錐的高，把棱錐體積表示為的函數，利用導數求最值．

設AE＝x(0<x≤1)，

在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，可得∠BAD＝60°，

由EF∥CD，可得△AEF是邊長為x的等邊三角形，

將△AEF沿EF折起到△MEF的位置，并使平面MEF⊥平面BCDFE，

則EF邊上的高為，

，

∴(0<x≤1).

0在(0，1]上恒成立，

∴在(0，1]上為增函數，

所以折疊后的幾何體的體積的最大值為V(1).

故答案為：.