Question

在數列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表達式，并加以證明；
(Ⅱ) 設，求證：對任意的自然數，都有；

Answer 1

（1），， 利用數學歸納法加以證明；（2）---（9分）
所以所以只需要證明
（顯然成立）

解析試題分析：（1）容易求得：，----------------------（2分）
故可以猜想， 下面利用數學歸納法加以證明：
顯然當時，結論成立，-----------------（3分）
假設當；時（也可以），結論也成立，即
，--------------------------（4分）
那么當時，由題設與歸納假設可知：
   （6分）
即當時，結論也成立，綜上，對,成立。 （7分）
（2）---（9分）
所以
------（11分）
所以只需要證明
（顯然成立）
所以對任意的自然數，都有    （14分）
考點：本題考查了數學歸納法的運用
點評：(1)用數學歸納法證明問題時首先要驗證時成立,注意不一定為1;
(2)在第二步中,關鍵是要正確合理地運用歸納假設,尤其要弄清由k到k+1時命題的變化