Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面均為正方形，D為底邊AB的中點，E為側棱CC₁的中點，AB₁與A₁B的交點為O．
（1）求證：CD∥平面A₁EB；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁EB．

Answer 1

分析：（1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD．證明EO∥CD．說明CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，即可證明CD∥平面A₁BE．
（2）利用三棱柱各側面都是正方形，然后證明CD⊥平面A₁ABB₁．證明EO⊥AB₁．AB₁⊥A₁B，即可證明AB₁⊥平面A₁BE．

解答：證明：（1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD．
因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，所以OD∥BB₁且OD=

1

2

BB1．
又E是CC₁中點，
則EC∥BB₁且EC=

1

2

BB1，即EC∥OD且EC=OD，
則四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
則CD∥平面A₁BE．…（7分）
（2）因為三棱柱各側面都是正方形，所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，
所以BB₁⊥平面ABC．
因為CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因為側面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直的判斷與證明，考查空間想象能力，邏輯推理能力．