Question

12、滿足C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜200的最大自然數n=_

7

．

Answer 1

分析：再解不等式即可令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，則可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，

解答：解：由題意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，則可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，
故n×2ⁿ+nC_nⁿ＜400
驗證知，最大的n是7
故答案為：7．

點評：本題考查組合及組合數公式，解題的關鍵是根據題設中的形式，利用倒序相加的方法對不等式的左邊進行化簡，此處考查到了二項式定理，本題較抽象，知識性強，解題時要注意公式與定理的使用．