Question

如圖，在平面直角坐標系中，在y軸的正半軸（坐標原點除外）上給定兩點A、B試在x軸的正半軸（坐標原點除外）上求點C，使∠ACB取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：首先題目給定y軸的正半軸上的兩點A、B，求x軸的正半軸上點C，使∠ACB取得最大值．故可以設A的坐標為（0，a）、點B的坐標為（0，b），C的坐標為（x，0）記∠BCA=α，∠OCB=β，．然后根據三角形角的關系，求出tanα的值再根據基本不等式求出其最大值，因為在內tanα是增函數，即所得的角為最大角．
解答：解：設點A的坐標為（0，a）、點B的坐標為（0，b），0＜b＜a，又設所求點C的坐標為（x，0）．
記∠BCA=α，∠OCB=β，則∠OCA=α+β．顯然，現在有
tanα=tg[（α+β）-β]==
記，那么，當時，y取得最小值2
因此，當時，tanα取得最大值
因為在內tanα是增函數，所以當時，∠ACB取最大值．
故所求點C的坐標為（，0）．
故答案為（，0）．
點評：此題主要考查基本不等式在求最值問題中的應用，題中涉及到兩角和與差的正切函數，有一定的技巧性，屬于中檔題目．