Question

已知中心在原點，對稱軸為坐標軸的橢圓C的一個焦點在拋物線的準線上，且橢圓C過點.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點A為橢圓C的右頂點，過點作直線與橢圓C相交于E，F兩點，直線AE,AF與直線分別交于不同的兩點M,N，求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題設知橢圓中心在原點，一個焦點坐標為，且過點，于是可設出其標準方程,并用待定系數法求出的值進而確定橢圓的方程.

（2）當直線的斜率存在且不為零時，由題意可設直線的方程為，

與橢圓方程聯立組成方程組消去并結合韋達定理得到，據此可將化成關于的函數而求解.

注意對直線的斜率不存在及斜率為零的情況，要單獨說明.

【解析】
（1）拋物線的準線方程為： 1分

設橢圓的方程為，則

依題意得，解得，.

所以橢圓的方程為. 3分

（2）顯然點.

（1）當直線的斜率不存在時，不妨設點在軸上方，

易得，，

所以. 5分

（2）當直線的斜率存在時，由題意可設直線的方程為，,顯然 時，不符合題意.

由得. 6分

則. 7分

直線，的方程分別為：，

令，則.

所以，. 9分

所以

. 11分

因為，所以，所以，即.

綜上所述，的取值范圍是. 13分

考點：1、橢圓的標準方程；2、拋物線的標準方程；3、直線與橢圓位置關系綜合問題.