Question

已知函數f（x）＝x＋，且f（1）＝2．

（1）求；

（2）判斷的奇偶性；

（3）函數在上是增函數還是減函數?并證明．

Answer 1

（1）；（2）奇函數；（3）增函數.

【解析】

試題分析：（1）根據題意將帶入的解析式中，得到關于的方程，進而求得的值；（2）根據（1）得到，再根據函數奇偶性的定義判斷其奇偶性，首先確定定義域關于原點對稱，其次判斷與的關系，得到，則原函數為奇函數；（3）根據函數單調性的定義，首先在任取且，帶入函數中，用作差法比較與的大小，得到所以原函數在上為增函數.

試題解析：（1）f（1）=1＋m＝2，m＝1． 2分

（2）f（x）＝x＋，f（－x）＝－x－＝－f（x），∴f（x）是奇函數． 6分

（3）設x1、x2是（1，＋∞）上的任意兩個實數，且x1＜x2，則 7分

f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）＝x1－x2＋（－）

＝x1－x2－＝（x1－x2）． 10分

當1＜x1＜x2時，x1x2＞1，x1x2－1＞0，從而f（x1）－f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2）．

∴函數f（x）＝＋x在（1，＋∞）上為增函數． 12分

考點：1.函數解析式；2.函數奇偶性；3.函數單調性.