Question

已知f（x）=e^2x+ae^x（a∈R）（e為自然對數底數）．
（1）若a=-2e，試求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的單調性，求a的范圍．
（3）當a＞0且x＞-1時，求證：f（x）≥x²+（a+2）x+a+1．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（2e^x-2e）e^x=0，得x=1，
當x＜1時f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
所以x=1為唯一極小值點，也是最小值點，
所以f（x）的最小值為f（1）=-e²；
（2）因為f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的單調性，
則有f′（x）=0的解在[0，1]上，即2e^x+a=0的解在[0，1]上．
記h（x）=2e^x+a，則h（0）•h（1）≤0，解得-2e≤a≤-2，
所以a的取值范圍為[-2e，-2]；
（3）即證明a＞0且x＞-1時，e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1），
現證明e^x≥x+1，記g（x）=e^x-（x+1），令g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
當-1＜x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，
所以x=0為唯一極小值點，也即最小值點，∴g（x）≥g（0）=0，∴e^x≥x+1，
所以a＞0且x＞-1時，e^2x≥（x+1）²，ae^x≥a（x+1），
∴e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1）．
分析：（1）求導數，利用導數判斷函數的單調性，求出極值，進而得到最小值；
（2）由f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的單調性知：f′（x）=0的解在[0，1]上，根據零點存在定理可得一不等式，解出即可；
（3）問題即為證明a＞0且x＞-1時，e^2x+ae^x≥（x+1）²+a（x+1），先利用導數證明e^x≥x+1，再根據不等式的性質即可證明原不等式；
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、求函數的最值及證明不等式，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力．