Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2，點E是AB中點，點M為D₁C的中點．
（I）證明：直線ME∥平面ADD₁A₁；
（II）求二面角A-D₁E-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當E為AB的中點時，ME∥平面ADD₁A₁．取DD₁的中點N，連接MN、AN、ME，證明 ME∥AN，即可證明ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）當E為AB的中點時，結合二面角A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C大小的和，只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；過A點作AF⊥DE交DE于F，過F作FH⊥D₁E于H，連接AH，則∠AHF即為二面角A-D₁E-D的平面角，通過AH•D₁E=AE•AD₁然后求出sin∠AHF，即可求出二面角A-D₁E-C的大小．

解答：證明：（Ⅰ）當E為AB的中點時，ME∥平面ADD₁A₁．
證明：取DD₁的中點N，連接MN、AN、ME，
MN∥

1

2

CD，AE∥

1

2

CD，
∴四邊形MNAE為平行四邊形，可知 ME∥AN
∵AN在平面AD₁內
∴ME∥平面AD₁．
（Ⅱ）當E為AB的中點時，DE=

2

，CE=

2

，又CD=2，
可知∠DEC=90°，所以DE⊥CE，平面CED₁⊥平面DD₁E，
所以二面角D-D₁E-C的大小為

π

2

；
又二面角A-D₁E-C的大小為二面角A-D₁E-D與二面角D-D₁E-C大小的和，
只需求二面角A-D₁E-D的大小即可；
過A點作AF⊥DE交DE于F，則AF⊥平面DD₁E，AF=

2

2

，
過F作FH⊥D₁E于H，連接AH，
則∠AHF即為二面角A-D₁E-D的平面角，
在Rt△AED₁中，又AH•D₁E=AE•AD₁，
∴AH=

AE•AD1

ED1

=

1× 5

22+( 2 )2

=

5

6

=

30

6

，
∴sin∠AHF=

AF

AH

=

2 2

30 6

=

15

5

，
所以二面角A-D₁E-C的大小為

π

2

+arcsin

15

5

．

點評：本題考查直線與平面平行，二面角的求法，考查轉化思想，空間想象能力，計算能力．