Question

已知數列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₃=7
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）已知數列（b_n}滿足b_n=，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n=2a_n-1+1兩邊同時加上1，構造出數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列，通過數列{a_n+1}的通項公式求出
{a_n}的通項公式
（2）由（1）求得b_n==，利用錯位相消法求和即可．
解答：解：（1）由已知，a₃=2a₂+1，得a₂=3，同理得a₁=1
在a_n=2a_n-1+1兩邊同時加上1，得出a_n+1=2（a_n-1+1），所以數列{a_n+1}是以2為公比的等比數列，
 首項為a₁+1=2故a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ
化簡得數列{a_n}的通項公式為a_n=2ⁿ-1．
（2）b_n==
Sn=①
Sn=②
①-②得Sn=
故Sn=2-
點評：本題考查數列的遞推公式和通項公式，錯位相消法求和計算，考查轉化計算，構造能力．