Question

（2010•重慶一模）已知向量

OA

=(mcosα，msinα)(m≠0)，

OB

=(-sinβ，cosβ)．其中O為坐標原點．
（Ⅰ）若α=β+

π

6

且m＞0，求向量

OA

與

OB

的夾角；
（Ⅱ）若|

OB

|≤

1

2

|

AB

|對任意實數α、β都成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設它們的夾角為θ，利用向量的數量積公式表示出cosθ，將已知條件α=β+

π

6

代入，利用特殊角的三角函數值求出兩個向量的夾角．
（II）利用向量模的坐標公式將已知條件轉化為m²+1+2msin（β-α）≥4對任意的α，β恒成立，通過對m分類討論，求出
m²+1+2msin（β-α）的最小值，令最小值大于等于4，求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設它們的夾角為θ，則
cosθ=

OA • OB

| OA || OB |

=

m(-cosαsinβ+sinαcosβ)

m

=sin(α-β)=sin

π

6

=

1

2

，
故θ=

π

3

…（6分）．
（Ⅱ）由|

AB

|≥2|

OB

|
得（mcosα+sinβ）²+（msinα-cosβ）²≥4
即m²+1+2msin（β-α）≥4對任意的α，β恒成立…（9分）
則

m＞0 m2-2m+1≥4

或

m＜0 m2+2m+1≥4

，
解得m≤-3或m≥3…（13分）．

點評：求向量的夾角問題，一般利用向量的數量積公式來解決；解決不等式恒成立問題，一般轉化為函數的最值來解決．