Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90º，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC=CD=AE=EF==1．

（Ⅰ）求證：CE//平面ABF；
（Ⅱ）求證：BE⊥AF；
（Ⅲ）在直線BC上是否存在點M，使二面角E-MD-A的大小為？若存在，求出CM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在BC上存在點M，且|CM|=．

試題分析：（I）將直角梯形ABCD補為長方形（補為長方形，一切都好辦了�。�，如圖，作 FG∥EA，AG∥EF，連結EG交AF于H，連結BH，BG，由三角形的中位線可得BH∥CE，從而得CE∥面ABF．

（Ⅱ）空間中證線線垂直，一般先證線面垂直.那么在本題中，證哪條線垂直哪個面？結合（I）題易得BG⊥AF，AF⊥EG，由此得 AF⊥平面BGE，從而 AF⊥BE．（Ⅲ）思路一、由于AG、AE、AD兩兩垂直，故以A為原點，AG為x軸，AE為y軸，AD為z軸建立空間直角坐標系A-xyz．假設M(1，y₀，0)，然后看利用二面角E-MD-A的大小為能否求出y₀，若能求出y₀，則存在；不能求出y₀，則不存在.
思路二、作出二面角的平面角也可.
試題解析：（I）證明：如圖，作 FG∥EA，AG∥EF，連結EG交AF于H，連結BH，BG，

∵EF∥CD且EF=CD，
∴AG∥CD，
即點G在平面ABCD內．
由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG，
∴四邊形AEFG為正方形，
CDAG為平行四邊形，                      2分
∴H為EG的中點，B為CG中點，
∴BH∥CE，
∴CE∥面ABF．                        4分
（Ⅱ）證明：∵ 在平行四邊形CDAG中，∠ADC=90º，
∴BG⊥AG．
又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG，
∴BG⊥面AEFG，
∴BG⊥AF．                          6分
又∵AF⊥EG，
∴AF⊥平面BGE，
∴AF⊥BE．                          8分
（Ⅲ）解：如圖，以A為原點，AG為x軸，AE為y軸，AD為z軸建立空間直角坐標系A-xyz．

則A(0，0，0)，G(1，0，0)，E(0，0，1)，D(0，2，0)，設M(1，y₀，0)，
∴，，
設面EMD的一個法向量，
則令y=1，得，
∴．                      10分
又∵，
∴為面AMD的法向量，
∴，
解得，
故在直線BC上存在點M，且|CM|=||=．         12分
法二、作，則，由等面積法得：.