Question

附加題
設(shè)n是給定的正整數(shù)，有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）同時(shí)滿足下列條件： ①a_i∈{1，﹣1}，
i=1，2，…，2n；    ②對(duì)任意的1≤k≤l≤n，都有 ．
（1）記A_n為滿足“對(duì)任意的1≤k≤n，都有_a2k﹣1+a_2k=0”的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）的個(gè)數(shù)，求A_n；
（2）記B_n為滿足“存在1≤k≤n，使得a_2k﹣1+a_2k≠0”的有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）的個(gè)數(shù)，求B_n．

Answer 1

解（1）因?yàn)閷?duì)任意的1≤k≤n，都有a_2k﹣1+a_2k=0，
則a_2k﹣1、a_2k必為1、﹣1或﹣1、1，
有兩種情況，有序數(shù)組（a₁，a₂，…，a_2n）中有n組a_2k﹣1、a_2k
所以，；   
 （2）因?yàn)榇嬖?≤k≤n，使得a_2k﹣1+a_2k^≠0，
所以a_2k﹣1+a_2k=2或a_2k﹣1+a_2k=﹣2，
設(shè)所有這樣的k為k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），
不妨設(shè)，
則（否則）；
同理，若，
則，
這說(shuō)明的值由的值（2或﹣2）確定，
又其余的（n﹣m）對(duì)相鄰的數(shù)每對(duì)的和均為0，
所以，B_n=2C_n¹×2^n﹣1+2C_n²×2^n﹣2+…+2C_nⁿ=2（2ⁿ+C_n1×2^n﹣1+C_n²×2^n﹣2+…+C_nⁿ）﹣2×2ⁿ
=2（1+2）ⁿ﹣2×2ⁿ=2（3ⁿ﹣2ⁿ）．