Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側棱的長都等于底面的邊長．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）E是側棱SD的中點，求SB與CE所成角的正弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）AC⊥BD，AC⊥SO⇒AC⊥平面SBD⇒AC⊥SD
（2）見中點作中位線，把異面直線SB與CE所成的角，轉化為相交直線OE與CE所成的角
解答：解：（1）連BD，設AC交BD于O，
∵SA=SC，∴AC⊥SO．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，（3分）
∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD、（5分）
（2）∵E是AD的中點，O是BD的中點，連OE，
則OE是△DSB的中位線，
∴SB∥OE，故異面直線SB與CE所成的角為
OE與CE所成的角，即∠OEC、（8分）
設四棱維各棱長為1，則OC=，CE=，
又由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
OE在平面SBD內，∴AC⊥OE．
∴sin∠OEC=．（12分）
點評：異面直線所成的角的求法：平移法，①選點，②平移，③解三角形，注意異面直線所成的角的范圍是（0，]