Question

(08年四川卷理)設(shè)數(shù)列滿足：．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求通項(xiàng)公式．

Answer 1

解析：由題意，在中，令，得，．

　　　由

　　　得

　　　兩式相減得：

　　　即　　　…………①

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由①知，

　　　于是

      又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．

（Ⅰ）變：當(dāng)時(shí)，求的通項(xiàng)公式．解法如下：

解：當(dāng)時(shí)，由①知，

兩邊同時(shí)除以得

　　　　　　 ∴是等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為

　　　　　　∴

∴（∴，∴是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2）

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，，即

當(dāng)時(shí)，由①：

　　　兩邊同時(shí)除以得

可設(shè)　…………②

展開②得，與比較，

得，∴．

∴

∴是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為

∴

∴

∴

點(diǎn)評(píng)：這是第一道考查＂會(huì)不會(huì)＂的問題．如若不會(huì)，對(duì)不起，請(qǐng)先繞道走．對(duì)大多數(shù)考生而言，此題是一道攔路虎．可能比壓軸題還讓人頭痛．原因是兩個(gè)小題分別考到了兩種重要的遞推方法．遞推數(shù)列中對(duì)遞推方法的考查，有30年歷史了，現(xiàn)在只是陳題翻新而已．不過此題對(duì)考生有不公平之嫌．大中城市參加過競賽培訓(xùn)的優(yōu)生占便宜了．解題有套方為高啊．