Question

關于x的一元二次方程x²＋2Ax＋B²＝0．

(1)若A是從0，1，2，3這四個數中任取的一個數，B是從0，1，2這三個數中任取的一個數，求上述方程有實數解的概率；

(2)若A是從區間[0，3]中任取的一個數，B是從區間[0，2]中任取的一個數，求上述方程有實數解的概率．

Answer 1

答案：
解析：

分析：對于問題(1)，由于A，B的個數有限，從而基本事件(A，B)的個數有限且出現的可能性相等，所以是古典概型；對于問題(2)的試驗結果(A，B)構成一個矩形平面，基本事件的個數無限且出現的可能性相等，所以是幾何概型． 　　解：設A表示事件“方程x2＋2Ax＋B2＝0有實數解”，則當A≥0，B≥0時，由Δ＝(2A)2－4B2＝4(A2－B2)≥0，解得A≥B． 　　(1)基本事件的總數共12個：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一、第二個數分別表示A，B的取值． 　　又事件A包含的基本事件有9個，故由古典概型的概率計算公式，得P(A)＝＝． 　　(2)如下圖，試驗的全部結果構成的區域為{(A，B)|0≤A≤3，0≤B≤2}，構成事件A的區域為{(A，B)|0≤A≤3，0≤B≤2，A≥B}． 　　故由幾何概型的概率計算公式，得 　　P(A)＝． 　　點評：利用古典概型的概率計算公式求解，關鍵是用列舉法得出基本事件的個數，也常用畫樹狀圖和列表法列舉；利用幾何概型的概率計算公式的關鍵是適當選擇觀察角度，把基本事件轉化為與之對應的區域，然后計算區域的長度(面積或體積)．