Question

3．已知曲線C₁的極坐標方程ρ=2sinθ，曲線C₂的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$
（Ⅰ）把曲線C₁，C₂的方程為普通方程；
（Ⅱ）在曲線C₁上取一點A，在曲線C₂上取一點B，求線段AB的最小值．

Answer 1

分析 （I）由已知中曲線C₁的極坐標方程ρ=2sinθ，曲線C₂的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$，可得曲線C₁，C₂的方程為普通方程；
（Ⅱ）在曲線C₁上取一點A，在曲線C₂上取一點B，則線段AB的最小值等于圓心到直線的距離減半徑．

解答 解（Ⅰ）曲線C₁的極坐標方程ρ=2sinθ，即ρ²=2ρsinθ，
故曲線C₁的普通方程為：x²+y²=2y，
即：x²+（y-1）²=1，
曲線C₂的參數方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2t}\\{y=t}\end{array}\right.$
故曲線C₂的普通方程為：x-2y-3=0；
（Ⅱ）曲線C₁是圓，圓心為（0，1），半徑為1，
圓心為（0，1）到直線x-2y-3=0的距離d=$\frac{|0-2×1-3|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故線段AB的最小值$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，極坐標方程，參數方程與普通方程的互化，難度中檔．