Question

如圖所示,直線l₁和l₂相交于點M,l₁⊥l₂,點N∈l₁,以A、B為端點的曲線段C上任一點到l₂的距離與到點N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立適當的坐標系,求曲線段C的方程.

Answer 1

剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分,求曲線方程需建立適當的直角坐標系,設出拋物線方程,由條件求出待定系數即可,求出曲線方程后要標注x、y的取值范圍.

解：以直線l₁為x軸,線段MN的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,由條件可知,曲線段C是以點N為焦點,以l₂為準線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點.

    設曲線段C的方程為y²=2px(p＞0)(x_a≤x≤x_b,y＞0),其中x_a、x_b為A、B的橫坐標,p=|MN|,

所以M(-,0)、N(,0).

    由|AM|=,|AN|=3,得

    (x_a+)²+2px_a=17,                    ①

    (x_a-)²+2px_a=9.                      ②

    ①②聯立,解得x_a=,代入①式,并由p＞0,解得或

    因為△AMN為銳角三角形,所以＞x_A.

    故舍去所以

    由點B在曲線段C上,得x_b=|BN|-=4.

    綜上,曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).