Question

已知圓C：x²+y²=12，直線l：4x+3y=25．求圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率．

Answer 1

分析：根據平行線的距離公式，算出到直線l：4x+3y=25的距離等于2且與已知圓相交的直線為直線l'：4x+3y-15=0．設l'交圓x²+y²=12于E、B兩點，由圖形觀察可得當動點A位于劣弧BE上時點A到直線l的距離小于2．由此利用點到直線的距離公式，結合垂徑定理和三角函數的定義算出∠EOB=60°，即可得到所求概率．

解答：解：設直線l'：4x+3y-C=0，
l'與直線l：4x+3y=25的距離等于2，且與已知圓相交，
可得

|-C+25|

42+32

=2，解之得C=15或40
∵C＜25，可得C=15
∴到直線l：4x+3y=25的距離等于2且與已知圓相交的直線
為直線l'：4x+3y-15=0，
設l'交圓x²+y²=12于E、B兩點，過圓心作EB的垂線，垂足為D，
則D為EB的中點，
∵|OD|=

|-15|

42+32

=3，
∴Rt△EOD中，cos∠EOD=

|OD|

R

=

3

2

，得∠EOD=30°
由此可得∠EOB=60°
當圓C上任意一點A到直線l的距離小于2時，點A位于劣弧BE上，
因此，所求概率為P=

60

360

=

1

6

．

點評：本題給出直線與圓，求圓上動點到直線的距離小于2的概率．著重考查了點到直線的距離公式、三角函數的定義和幾何概型及其計算等知識，屬于中檔題．