Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分別為PC、PD、BC的中點．
（1）求證：PA⊥EF；
（2）求二面角D-FG-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，求出各頂點的坐標及直線與PA與EF的方向向量，然后代入向量數量積公式，易得兩個向量的數量積為0，故PA⊥EF；
（2）在（1）中所示的坐標系中，我們求也平面DFG和平面EFG的法向量，然后代入二面角的向量法夾角公式中，即可得到二面角D-FG-E的余弦值．

解答：證明：（1）以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則F（0，0.1），E（0，1，1），P（0，0，2），A（2，0，0），
∴

PA

=(2，0，-2). 

EF

=(0，-1，0)、
∵

PA

•

EF

=(2，0，-2)•(0，-1，0)=0，
∴PA⊥EF
解：（2）D（0，0，0），F（0，0，1），G（1，2，0），

DF

=(0，0，1) ，

EF

=(0，-1，0)， 

FG

\(1，2，-1)=（1，2，-1）
設平面DFG的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），
∵

m • DF =0 m • FG =0

∴

z1 =0 x1+2y1-z1=0

令y₁=1，得

m

=（-2，1，0）是平面DFG的一個法向量、
設平面EFG的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），
∴

n • EF =0 n • FG =0

∴

-y2 =0 x2+2y2-z2=0

，令z₂=1，得

n

=（1，0，1）是平面EFG的一個法向量、
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m|•| n |

=

-2

5 • 2

=

-2

10

=-

10

5

設二面角D-EG-E的平面角為θ，
則θ=＜

m

，

n

＞、
所以二面角D-FG-G的余弦值為-

10

5

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質及二面角的平面角及求法，空間向量法解決夾角問題的其步驟是：建立空間直角坐標系?明確相關點的坐標?明確相關向量的坐標?通過空間向量的坐標運算求解．