Question

已知三棱錐P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C為45⁰，D、F分別為AC、PC的中點，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求證：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直線EB與平面PAC所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，根據AP⊥DE，，利用線面垂直的判定，可得AP⊥平面BDE
（Ⅱ）判斷∠BED為直線EB與平面PAC所成的角，∠PBC為二面角P-AB-C的平面角，利用∠PBC=45°，求出DE、BD，即可求得直線EB與平面PAC所成的角．

解答：（Ⅰ）證明：∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥BD，
又AB=BC，D為AC中點，∴BD⊥AC
∵PC∩AC=C
∴BD⊥平面ACP
∵AP?平面ACP，∴BD⊥AP，
又AP⊥DE，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的證明知BD⊥平面ACP，
∴∠BED為直線EB與平面PAC所成的角．
∵AB⊥BC，BC為PB在平面ABC上的射影
∴PB⊥AB，∴∠PBC為二面角P-AB-C的平面角，∴∠PBC=45°
∵AB=BC=2，∴PC=2，AC=2

2

，∴BD=

2

∵DE⊥AP，∴DE=

6

3

∴tan∠BED=

BD

DE

=

2

6 3

=

3

∴∠BED=60°

點評：本題考查線面垂直的判定，考查面面角，掌握線面垂直的判定定理，找出線面角、面面角是關鍵．