Question

有一個3×3×3的正方體，它的六個面上均涂上顏色．現將這個長方體鋸成27個1×1×1的小正方體，從這些小正方體中隨機地任取1個．
（Ⅰ）設小正方體涂上顏色的面數為ξ，求ξ的分布列和數學期望．
（Ⅱ）如每次從中任取一個小正方體，確定涂色的面數后，再放回，連續抽取6次，設恰好取到只有一個面涂有顏色的小正方體的次數為η．求η的數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：ξ可能取的值為：0，1，2，3，再結合題意分布求出其發生的概率，進而求出ξ的數學期望．
（II）根據題意可得：離散型隨機變量η服從二項分布，再根據公式Eη=np可得答案．

解答：解：（I）由題意可得：ξ可能取的值為：0，1，2，3，
則有P（ξ=0）=

1

27

，P（ξ=1）=

6

27

=

2

9

，P（ξ=2）=

12

27

=

4

9

，P（ξ=3）=

8

27

，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

所以ξ的數學期望Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=

38

27

．
（II）根據題意可得：離散型隨機變量η服從二項分布，即η～B（6，

2

9

），
所以根據公式Eη=np=6×

2

9

=

4

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握離散型隨機變量的分布列與數學期望，以及二項分布的數學期望的計算公式，此題屬于基礎題．