Question

經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品．以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個銷售季度內的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．
（Ⅰ）將T表示為x的函數
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若x∈[100，110））則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率，求T的數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意先分段寫出，當x∈[100，130）時，當x∈[130，150）時，和利潤值，最后利用分段函數的形式進行綜合即可．
（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤x≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計總體的方法得出下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值．
（III）利用利潤T的數學期望=各組的區間中點值×該區間的頻率之和即得．

解答：解：（I）由題意得，當x∈[100，130）時，T=500x-300（130-x）=800x-39000，
當x∈[130，150）時，T=500×130=65000，
∴T=

800x-39000，x∈[100，130) 65000，x∈[130，150]

．
（II）由（I）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤x≤150．
由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，
所以下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7．
（Ⅲ）依題意可得T的分布列如圖，

T	45000	53000	61000	65000
p	0.1	0.2	0.3	0.4

所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．

點評：本題考查用樣本的頻率分布估計總體分布及識圖的能力，求解的重點是對題設條件及直方圖的理解，了解直方圖中每個小矩形的面積的意義，是中檔題．