Question

（2013•福建）當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x2+…+xn+…=

1

1-x

兩邊同時積分得：

∫

1 2 0

1dx+

∫

1 2 0

xdx+

∫

1 2 0

x2dx+…

∫

1 2 0

xndx+…=

∫

1 2 0

1

1-x

dx
從而得到如下等式：1×

1

2

+

1

2

×(

1

2

)2+

1

3

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

×(

1

2

)n+1+…=ln2．
請根據以上材料所蘊含的數學思想方法，計算：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]

．

Answer 1

分析：根據二項式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時積分整理后，整理即可得到結論．

解答：解：二項式定理得C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，
對C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ
兩邊同時積分得：

∫

1 2 0

1

C

0 n

dx+

∫

1 2 0

C

1 n

xdx+

∫

1 2 0

C

2 n

x2dx+…+

∫

1 2 0

C

n n

xndx=

∫

1 2 0

(1+x)ndx
從而得到如下等式：

C

0 n

×

1

2

+

1

2

C

1 n

×(

1

2

)2+

1

3

C

2 n

×(

1

2

)3+…+

1

n+1

C

n n

×(

1

2

)n+1=

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]
故答案為：

1

n+1

[(

3

2

)n+1-1]．

點評：本題主要考查二項式定理的應用．是道好題，解決問題的關鍵在于對C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²+…+C_nⁿxⁿ=（1+x）ⁿ，兩邊同時積分，要是想不到這一點，就變成難題了．