Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、G分別是BC、C₁D₁的中點，如圖所示．
（1）求證：BD⊥A₁C；
（2）求證：EG∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

分析：（1）通過正方體，利用三垂線定理證明BD⊥A₁C；
（2）取BD的中點F，連結EF，D₁F，證明四邊形EFD₁G為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理，
證明EG∥平面BB₁D₁D．

解答：證明（1）連結AC，因為幾何體是正方體，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，由三垂線定理可知：BD⊥A₁C；
（2）取BD的中點F，連結EF，D₁F，
因為E為BC的中點，所以EF為三角形BCD的中位線，
則EF∥DC，且EF=

1

2

CD，
∵G為C₁D₁的中點，∴D₁G∥CD，且D₁G=

1

2

CD
，∴EF∥D₁C，且EF=D₁G，∴四邊形EFD₁G為平行四邊形，
∴D₁F∥EG，而D₁F?平面BB₁D₁D，EG?平面BB₁D₁D，
∴EG∥平面BB₁D₁D．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定定理，三垂線定理，直線與平面平行的判定定理的應用，考查空間想象能力，邏輯推理能力．