Question

對于任意實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，例如：[-2.5]=-3，[2.5]=2，[2]=2，那么[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]=

1. A.
   8204
2. B.
   4102
3. C.
   2048
4. D.
   1024

Answer 1

A
分析：根據高斯函數的定義，將所求的1024個數進行取整，找到規律然后運用數列求和的方法求出該式子的值．
解答：當2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹時，[log₂x]=n，
因此所求的值為：[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]中有1個0，2個1，2²個2，2³個3，2^，4個4，…，2⁹個9，1個10．
因此：設所求的和為S=0+2×1+2²×2+2³×3+…+2⁹×9+10①
2S=2²×1+2³×2+…+2¹⁰×9+20 ②，
①-②，得-S=2+2²+2³+…+2⁹-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×8-12=-8204，
故所求的和為S=8204．
故選A．
點評：本題考查新定義問題的求解思路，考查數列求和中的錯位相減求和方法．關鍵要找準所求和的規律，體現了轉化與化歸思想的運用．