Question

已知直線l₁：x-2y-1=0，直線l₂：ax-by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．
（1）求直線l₁∩l₂=∅的概率；
（2）求直線l₁與l₂的交點位于第一象限的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是36，滿足條件的事件是直線l₁∩l₂=∅，根據兩條直線沒有交點，得到兩條直線的斜率之間的關系，得到關于a，b的關系式，寫出滿足條件的事件數，得到結果．
（2）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件數是36，滿足條件的事件是兩條直線的交點在第一象限，寫出兩條直線的交點坐標，根據在第一象限寫出不等式組，解出結果，根據a，b之間的關系寫出滿足條件的事件數，得到結果．
解答：解：（1）直線l₁的斜率，直線l₂的斜率．
設事件A為“直線l₁∩l₂=∅”．
a，b∈{1，2，3，4，5，6}的總事件數為（1，1），（1，2），…，（1，6），
（2，1），（2，2），••，（2，6），••，（5，6），（6，6）共36種．
若l₁∩l₂=∅，則l₁∥l₂，即k₁=k₂，即b=2a．
滿足條件的實數對（a，b）有（2，4）、（3，6）共二種情形．
∴．
即直線l₁∩l₂=∅的概率為．

（2）解：設事件B為“直線l₁與l₂的交點位于第一象限”，
由于直線l₁與l₂有交點，則b≠2a．
聯立方程組
解得
∵直線l₁與l₂的交點位于第一象限，則
即
解得b＞2a．a，b∈{1，2，3，4，5，6}的總事件數為36種．
滿足條件的實數對（a，b）有（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）共六種．
∴．
即直線l₁與l₂的交點位于第一象限的概率為．
點評：本題考查等可能事件的概率，考查兩條直線的平行關系，考查兩條直線的交點在第一象限的特點，本題是一個綜合題，在解題時注意解析幾何知識點的應用．